00 引言

地圖投影和座標參照系統是地圖製圖的數學基礎，是GIS重要核心概念，是資料處理和空間分析的前提，也是比較難以理解的部分。

從本文開始，我將圍繞地圖投影和座標系統分享系列文章，力圖在不涉及複雜的數學公式前提下，用簡潔的方式解析其中的概念和相互關係。

本系列文章擬包括如下內容：

地球的形狀及模型——地球的形狀和數學逼近，地球自然表面、大地水準面、地球橢球體、參考橢球體、基準面。
地圖投影概述——地圖投影的概念和分類。
幾何投影——圓錐投影、圓柱投影、方位投影，及其應用場景。
數學解析投影——偽圓錐投影、偽圓柱投影、偽方位投影和多圓錐投影，及其應用場景。
座標參照系——地理座標系、投影座標系。
常用座標系——CGCS2000、WGS84,、西安80座標系、北京54座標系等。
座標變換——介紹基於檔案的變換、基於方程的變換。
QGIS的地圖投影與座標系——專案座標系、圖層座標系、圖層重新投影、自定義地圖投影、座標參照系選擇器（CRS Selector）的使用。

上述內容涉及到的概念比較多，相互關係圖如下：

本文為系列文章第一篇——地球的形狀及模型。

01 地球的形狀

如何向別人描述你現在所處的位置？說明一個位置需要參照物，日常生活中的參照通常選擇大家所熟知的地點，例如某某大廈旁，某某路交叉口。對於小範圍區域，人們熟悉周圍的環境，這種描述足夠定位。但是，將地理區域擴大到全國、全世界，那麼用標誌建築物或者道路描述位置就不足以定位了，需要另外尋找更加具有普適性的參考系。

為了進行定位、距離和麵積計算等，需要對地球建立具有普適性的描述模型，數學家和測地學家首先想到了對地球進行數學建模。

數學建模的基礎是正確認識地球的形狀。

人類最早對地球的認識是「天圓地方」。早期人們誤以為大地是平坦的，這是因為人們生活的範圍不廣，科學技術不發達，只能憑藉著自己的眼睛所看到的來分析和判斷地球的形狀。但是，在長期的實踐中，人們觀察到有些現象無法用上述認知來解釋，於是有的科學家提出地球是球形的猜想。公元前6世紀後半葉，古希臘科學家畢達哥拉斯最早提出大地是球形的，後來，哲學家亞里士多德在觀察日食時，發現太陽光被地球遮擋後留在月亮上的地球影子是圓弧形，也得出地球是球形的結論。然而，他們都沒有證據證實自己的猜想。

直到16世紀，麥哲倫用一次環球航行證明了地球是個球體。十八世紀，人們開始意識到地球並不是完美的球體，科學家開始使用旋轉橢球體對地球擬合。

到如今，隨著科技的發展，人們對地球的形狀已經有了一個明確的認識：地球並不是一個正球體，而是一個兩極稍扁、赤道略鼓的不規則球體。

從測量和地圖製圖的角度，地球的形狀需要一個嚴謹、完整的數學定義。地球表面，有高山、盆地、河流、湖泊和海洋等，最高的喜馬拉雅、最低的馬裡亞納海溝之間差值為19.9km，對於整個地球半徑而言，這些起伏變化是微小的，但是地球表面的高低不平導致無法用數學公式表達，也無法進行運算。於是科學家們提出大地水準面來替代地球的自然表面。

02 大地水準面（Geoid）

當海洋靜止時，它的自由水面必定與面上各點的重力方向(鉛垂線方向)成正交，我們把這個面叫做水準面，鉛垂線和水準面是測量工作所依據的線和麵。

隨著高度的不同，水準面有無數個，其中與靜止的平均海水面重合並向大陸、島嶼延伸而形成一個連續不斷的，與地球比較接近的形體，其表面稱為大地水準面。

更嚴謹的描述為：大地水準面是指地球重力場中，與處於自由靜止狀態的平均海水面相重合或最為接近的重力等位面。

這一概念最早由德國大地測量學家卡爾·弗里德里希·高斯在1828年提出。當時，高斯以「地球的數學表面」來指稱與重力方向相垂直、且與靜止的平均海水面相重合的幾何表面，並提出將其作為高程系統的基準面。其後，高斯的學生利斯廷於1873年創造出了「Geoid」一詞，用以描述高斯所提出的數學表面。因此大地水準面的單詞Geoid實際上是德語。

由大地水準面所包圍的地球形體叫做「大地體」，大地體常用於表達地球的物理形狀。

大地水準面是對地球形狀的很好近似，其面上高出與面下缺少的相當，是對地球表面的第一級逼近。

03 旋轉橢球體（Ellipsoid）

大地水準面仍然不是一個規則的曲面。因為重力線方向並非恆指向地心，導致處處與重力線方向正交的大地水準面也不是一個規則的曲面。大地水準面實際上是一個起伏不平的重力等位面。

為了測量成果的計算和製圖工作的需要，選用一個同大地體相近的，可以用數學方法來表達的旋轉橢球體來代替大地水準面。這個旋轉橢球是一個橢圓繞其短軸旋轉而成，其表面稱為旋轉橢球面。

旋轉橢球體又叫做地球橢球體，是地球的數學表面，是對地球形體的二級逼近。

旋轉橢球體是規則的，可以用數學公式表達。

橢圓形狀由兩個半徑定義。較長的半徑稱為長半軸（用a表示），而較短的半徑稱為短半軸（用b表示）。

旋轉橢球體由長半軸 a 和短半軸 b 定義，或者由 a 和扁率定義。扁率是兩個軸長度的差異，以分數或小數表示。扁率 f 的計算公式如下：

f = (a - b) / a

扁率是一個較小的值，因而通常採用的是量 1/f。例如，1984 世界座標系（WGS 1984 或 WGS84）的旋轉橢球體引數：

a = 6378137.0 米

b = 6356752.31424 米

1/f = 298.257223563

扁率取值範圍為 0 到 1。扁率值 0 表示兩個軸相等，即球體。地球扁率約為 0.003353。

有時為了製圖需要，在製作某些比例尺地圖時，將地球看作一個正球體，即扁率為0。

04 參考橢球體

地球橢球體通過測定長軸a、短軸b和扁率f確定其形狀後，還必須確定大地水準面與橢球體面的相對關係，即確定與區域性地區大地水準面符合最好的一個地球橢球體，叫參考橢球體。

通過數學方法將地球橢球體擺到與區域性地區大地水準面最貼近的位置上，並求出兩者各點的垂直偏差，這項工作又叫做參考橢球體定位，是數學上對地球形體的三級逼近。

目前世界上最常用的參考橢球體，是美國國防部製圖局（DMA）在1984年構建的WGS84。

自建國以來，中國的橢球體經過四次變遷：

中國1952年前採用海福特（Hayford）橢球體；
1953-1980年採用克拉索夫斯基橢球體，座標原點是前蘇聯玻爾可夫天文臺；
自1980年開始採用國際大地測量與地球物理學聯合會IUGG 1975年推薦的GRS 1975參考橢球體，並確定陝西涇陽縣永樂鎮北洪流村為「1980西安座標系」大地座標的起算點；
為了適應中國經濟、社會和科學技術發展需求，自2008年7月1日起，我國開始啟用新一代的地心三維大地座標系統，以CGCS2000橢球體為參考橢球體。

常見的橢球體引數如下表：

注：CGCS2000與WGS 1984橢球體的扁率從第6位開始有差異。

05 大地基準面（Datum）

特定地區的參考橢球體與該地區的區域性水準面是相對吻合的，因此，我們把這個與區域性水準面吻合的參考橢球體所在的面稱之為大地基準面。

把參考橢球體和基準面結合起來看，如果把地球比做是「馬鈴薯」，表面凸凹不平，而參考橢球體就好比一個「鴨蛋」，那麼按照前面的定義，基準面就定義了怎樣拿這個「鴨蛋」去逼近「馬鈴薯」某一個區域的表面，X、Y、Z軸進行一定的偏移，並各自旋轉一定的角度，大小不適當的時候就縮放一下「鴨蛋」，通過如上的處理必定可以達到很好的逼近地球某一區域的表面。

大地基準面是建立國家大地座標系統和推算國家大地控制網中各點大地座標的基本依據，它包括一組大地測量引數和一組起算資料，其中，大地測量引數主要包括作為建立大地座標系依據的參考橢球體的四個常數，即橢球赤道半徑，地心引力常數GM，帶球諧係數J2（由此匯出橢球扁率f）和地球自轉角度w，以及用以確定大地座標系統和大地控制網長度基準的真空光速c；而一組起算資料是指國家大地控制網起算點（大地原點）的大地經度、大地緯度、大地高程和三個座標軸的指向、尺度。

每個國家或地區均有各自的基準面，通常稱謂的北京54座標系、西安80座標系實際上指的是我國的兩個大地基準面。

06 寫在最後

關於地球的形狀與數學模擬就分享到這裡，文中大多數內容為參考了各方教材、文獻、網路資料整理而來，難免有疏漏之處，如有發現理解不到位的地方，歡迎後臺留言指正。

參考資料：

[1] 現代地圖學教學，袁勘省，ISBN 987-7-03-020125-6。

[2] 地圖學原理與方法，王家耀，孫群等，ISBN 7-03-016498-9。

[3] 維基百科-大地水準面：https://zh.wikipedia.org/wiki/大地水準面。

[4] 維基百科-參考橢球體：https://zh.wikipedia.org/wiki/參考橢球體。

[5] https://3nice.cc/2018/11/12/GISyulu181112/ 。

[6] https://blog.csdn.net/baidu_26646129/article/details/102912662 。

[7] https://www.bilibili.com/read/cv3653293 。

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