2020CCPC(威海) - Rencontre(樹形dp)

題目大意：給出一棵帶權樹，規定 ，解釋一下就是當確定三個點 u1 , u2 , u3 後，需要找到一個點 v 到三個點的距離之和最小，現在給出 u1 , u2 , u3 的可行取值，問 f 函數的期望是多少

題目分析：考慮轉換模型，對於給定的 u1 , u2 和 u3 來說，不難猜出點 v 是唯一存在的（不會證明），相應的這個最短的距離之和也是唯一確定的，且可以表示為 

這樣一來根據兩個期望的基本公式進行轉換：

1. E( X + Y ) = E( X ) + E( Y )
2. E( CX ) = CE( X )

如此一來就將 u1 , u2 , u3 的貢獻拆成了分別獨立的三組，再考慮對於 E( dis( u , v ) ) 該如何去求

現在問題就是如何快速求出 E( dis( u1 , u2 ) ) 了

接下來一個思維點就是，需要想到計算每條邊的貢獻，具體就是，對於一條邊 ( u , v ) 來說，當移除掉這條邊後，整棵樹將會被分成不連通的兩個部分，記為 T1 和 T2，比較顯然的是：

1. T1 中的 u1 到 T2 中的 u2 必然會經過當前邊
2. T1 中的 u2 到 T2 中的 u1 必然會經過當前邊

直接樹形 dp 就好了

程式碼：
 

//#pragma GCC optimize(2)
//#pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
//#pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
using namespace std;
     
typedef long long LL;
     
typedef unsigned long long ull;
     
const int inf=0x3f3f3f3f;

const int N=2e5+100;

vector<pair<int,int>>node[N];

LL sz[4][N],cnt[4];

double ans=0;

void dfs1(int u,int fa)
{
	for(auto it:node[u])
	{
		int v=it.first;
		if(v==fa)
			continue;
		dfs1(v,u);
		for(int i=1;i<=3;i++)
			sz[i][u]+=sz[i][v];
	}
}

void dfs2(int u,int fa)
{
	for(auto it:node[u])
	{
		int v=it.first,w=it.second;
		if(v==fa)
			continue;
		dfs2(v,u);
		for(int i=1;i<=3;i++)
			for(int j=1;j<=3;j++)
				if(i!=j)
					ans+=1.0*(sz[i][1]-sz[i][v])*sz[j][v]*w/cnt[i]/cnt[j]/2;
	}
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v,w;
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		node[u].emplace_back(v,w);
		node[v].emplace_back(u,w);
	}
	for(int i=1;i<=3;i++)
	{
		scanf("%d",cnt+i);
		for(int j=1;j<=cnt[i];j++)
		{
			int x;
			scanf("%d",&x);
			sz[i][x]++;
		}
	}
	dfs1(1,-1);
	dfs2(1,-1);
	printf("%.10f\n",ans);










    return 0;
}